? ЯК дізнатися радіус кривизни

Нехай задана функція, визначена рівнянням y = f (x) і відповідним графіком. Потрібно знайти радіус її кривизни, тобто виміряти ступінь викривленості графіка цієї функції в деякій точці x0.

Інструкція

Кривизна будь-якої лінії визначається швидкістю повороту її дотичної в точці x при русі цієї точки по кривій. Оскільки тангенс кута нахилу дотичної дорівнює значенню похідної від f (x) в цій точці, то швидкість зміни цього кута повинна залежати від другої похідної.

Еталоном кривизни логічно прийняти окружність, оскільки вона рівномірно викривлена на всьому своєму протязі. Радіус такої окружності є міра її кривизни.

За аналогією, радіусом кривизни заданої лінії в точці x0 називається радіус кола, яка найбільш точно вимірює ступінь її викривленості в цій точці.

Необхідна окружність повинна стикатися із заданою кривою у точці x0, тобто розташовуватися з боку її увігнутості так, щоб дотична до кривої в цій точці була також і дотичної до кола. Це означає, що якщо F (x) - рівняння кола, то повинні виконуватися рівності:

F (x0) = f (x0),
F? (X0) = f? (X0).

Таких кіл, очевидно, існує нескінченно багато. Але для вимірювання кривизни необхідно вибрати ту, яка найбільш точно відповідає заданій кривій в цій точці. Оскільки кривизна вимірюється другої похідної, то до цих двох равенствам необхідно додати ще й третій:

F ?? (x0) = f ?? (x0).

Виходячи з цих співвідношень, радіус кривизни обчислюється за формулою:

R = ((1 + f? (X0) ^ 2) ^ (3/2)) / (| f ?? (x0) |).

Величина, зворотна радіусу кривизни, називається кривизною лінії в даній точці.

Якщо f ?? (x0) = 0, то радіус кривизни дорівнює нескінченності, тобто лінія в цій точці не викривлений. Це завжди вірно для прямих, а також для будь-яких ліній в точках перегину. Кривизна в таких точках, відповідно, дорівнює нулю.

Центр кола, що вимірює кривизну лінії в заданій точці, називається центром кривизни. Лінія, що є геометричним місцем для всіх центрів кривизни заданої лінії, називається її еволюти.