ЯК знайти кут між медіаною і стороною

Завдання по знаходженню кута багатокутника при відомих кількох його параметрів достатньо проста. У разі визначення кута між медіаною трикутника і однієї із сторін зручно використовувати векторний спосіб. Для того щоб задати трикутник, достатньо двох векторів його сторін.

Інструкція

На рис. 1 трикутник добудований до відповідного йому паралелограма. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналей паралелограма вони діляться навпіл. Тому АТ є медіаною трикутника АВС, опущена з А на сторону ВС.
З цього можна зробити висновок, що необхідно знайти кут # 966- між стороною АС трикутника і медіаною АТ. Такий же кут, відповідно до рис. 1, мається між вектором а й вектором d, відповідним діагоналі паралелограма AD. За правилом паралелограма вектор d дорівнює геометричній сумі векторів a і b, d = a + b.

Залишається знайти спосіб визначення кута # 966-. Для цього слід використовувати скалярний добуток векторів. Скалярний добуток найзручніше визначити на основі тих же векторів a і d, яке визначається за формулою (a, d) = | a || d | cos # 966-. Тут # 966- - кут між векторами a і d. Оскільки скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається виразом:
(A (ax, ay), d (dx, dy)) = axdx + aydy, | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2, | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2, то
cos # 966 - = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)). Крім того, сума векторів у координатній формі визначається виразом: d (dx, dy) = a (ax, ay) + b (bx, by) = {ax + bx, ay + by}, тобто dx = ax + bx, dy = ay + by.

Приклад. Трикутник АВС заданий векторами a (1,1) і b (2, 5) відповідно до рис.1. Знайти кут # 966- між його медіаною АТ і стороною трикутника АС.
Рішення. Як вже було показано вище, для цього достатньо знайти кут між векторами а і d.
Цей кут задається його косинусом і обчислюється у відповідності з наступним тотожністю
cos # 966 - = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)).
1. d (dx, dy) = {1 + 2, 1 + 5} = d (3, 6).
2. cos # 966 - = (3 + 6) / (sqrt (1 + 1) sqrt (9 + 36)) = 9 / (3sqrt (10)) = 3 / sqrt (10).
# 966- = arcos (3 / sqrt (10)).