ЯК знайти кут між двома векторами :: як обчислити кут між двома векторами за координатами

Кут між двома векторами, виходять з однієї точки, це найкоротший кут, на який необхідно повернути один з векторів навколо свого початку до положення другого вектора. Визначити градусну міру цього кута можна, якщо відомі координати векторів.

Інструкція

Нехай на площині задані два ненульових вектора, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) і вектор B з координатами (x2, y2). Кут між ними позначений як # 952-. Щоб знайти градусну міру кута # 952- необхідно скористатися визначенням скалярного твору.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A, B) = | A | * | B | * cos (# 952-). Тепер потрібно висловити з цього запису косинус кута: cos (# 952 -) = (A, B) / (| A | * | B |).

Скалярний твір можна знайти також за формулою (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, так як скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори є перпендикулярними (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивно, то кут між цими векторами гострий, а якщо негативно, то кут тупий.

Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: | A | = # 8730- (x1 # 178- + y1 # 178-), | B | = # 8730- (x2 # 178- + y2 # 178-). Довжина вектора обчислюється як квадратний корінь з суми квадратів його координат.

Знайдені значення скалярного твори і довжин векторів підставте в отриману в кроці 2 формулу для знаходження косинуса кута, тобто cos (# 952 -) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (# 8730- (x1 # 178- + y1 # 178 -) + # 8730- (x2 # 178- + y2 # 178-)). Тепер, знаючи значення косинуса, щоб знайти градусну міру кута між векторами потрібно скористатися таблицею Брадіса або взяти з цього виразу арккосинус: # 952- = arccos (cos (# 952-)).

Якщо вектори A і B задані в тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. У цьому випадку косинус кута дорівнює: cos (# 952 -) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (# 8730- (x1 # 178- + y1 # 178- + z1 # 178 -) + # 8730- (x2 # 178- + y2 # 178- + z2 # 178-)).