ЯК знайти кут між сторонами

Рішення завдання з відшукання кута між сторін деякої геометричної фігури слід починати з відповіді на питання: з якою фігурою ви маєте справу, тобто визначитися багатогранник перед вами або багатокутник.
У стереометрії розглядається «плоский випадок» (багатокутник). Кожен багатокутник можна розбити на певну кількість трикутників. Відповідно, рішення цієї задачі можна звести до відшукання кута між сторонами одного з трикутників, що становлять задану вам фігуру.

Інструкція

Для завдання кожної зі сторін необхідно знати її довжину і ще один певний параметр, який буде задавати положення трикутника на площині. Для цього, як правило, використовуються спрямовані відрізки - вектори.
Треба відзначити, що на площині може бути нескінченно багато рівних векторів. Головне, щоб вони володіли рівною довжиною, точніше модулем | a |, а також напрямом, який задається нахилом до якої-небудь осі (в декартових координатах це вісь 0Х). Тому для зручності вектори прийнято задавати за допомогою радіус-векторів r = а, початок яких розташовано в точці початку координат.

Для вирішення поставленого питання, необхідно визначити скалярний добуток векторів а і b (позначається (a, b)). Якщо кут між векторами ф, то, за визначенням, скалярний добуток двох вітрів - це число, що дорівнює добутку модулів:
(A, b) = | a || b | cos ф (див. Ріс1).
В декартових координатах, якщо а = {x1, y1} і b = {x2, y2}, то (a, b) = x1у2 + х2y1. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + x2 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Отже, | a || b | cos ф = x1у2 + х2y1. Отже, cos ф = (x1у2 + х2y1) / (| a || b |). Дана формула є алгоритмом вирішення поставленого завдання в «плоскому випадку».

Приклад1. Знайти кут між сторонами трикутника, заданими векторами a = {3, 5} і b = {- 1, 4}.
Виходячи з теоретичних викладок, наведених вище, можна обчислити необхідний кут. cos ф = (x1y2 + x2y1) / (| a || b |) = (- 3 + 20) / (9 + 25) ^ 1/2 (1 + 16) ^ 1/2 = 18/6 (17) ^ 1/2 = 6 / sqrt (17) = 1,4552
Відповідь: ф = arccos (1,4552).

Тепер слід розглянути випадок об'ємної фігури (багатогранника). У даному варіанті вирішення завдання кут меду сторонами сприймається, як кут між ребрами бічній грані фігури. Однак, строго кажучи, підстава так само є гранню многогранника. Тоді рішення поставленої задачі зводиться до розгляду першого «плоского випадку». Але вектори будуть задаватися вже трьома координатами.
Часто без уваги залишається варіант завдання, коли сторони взагалі не перетинаються, тобто лежать на перехресних прямих. У даному випадку поняття кута між ними також визначено. При векторному завданні відрізків прямих, спосіб визначення кута меду ними єдиний - скалярний твір.

Приклад 2. Знайти кут ф між сторонами довільного багатогранника, заданими векторами a = {3, -5, -2} і b = {3, -4, 6}. Як щойно з'ясовано, той кут визначаться його косинусом, причому
cos ф = (x1х2 +у1y2+z1z2)/(|a||b|)=(9+20-12)/(3^2+5^2+2^2)^1/2(3^2+4^2+6^2)^1/2=7/sqrt(29)•sqrt(61)=7/sqrt(1769)=0,1664
Відповідь: ф = arccos (0,1664)