ЯК знайти медіану рівнобедреного трикутника

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього є дві рівних сторони. Вони називаються бічними. Третя сторона називається підставою рівнобедреного трикутника. Такий трикутник має ряд специфічних властивостей. Медіани, проведені до бічних сторін, рівні. Таким чином в трикутник дві різні медіани, одна проведена до основи трикутника, друга - до бічної сторони.

Інструкція

Нехай дано трикутник ABC, який є рівнобедреним. Відомі довжини його бічної сторони і підстави. Треба знайти медіану, опущену на основу цього трикутника. У трикутник ця медіана є одночасно медіаною, бісектрисою і висотою. Завдяки цій властивості, знайти медіану до основи трикутника дуже просто. Скористайтеся теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD: ABsup2- = BDsup2- + ADsup2-, де BD - шукана медіана, AB - бічна сторона (для зручності нехай вона дорівнює a), а AD - половина підстави (для зручності візьміть підставу рівним b). Тоді BDsup2- = asup2- - bsup2- / 4. Знайдіть корінь з цього виразу і отримаєте довжину медіани.

Трохи більш складно йдуть справи з медіаною, проведеною до бічної сторони. Для початку покажіть обидві таких медіани на малюнку. Ці медіани рівні. Позначте бічну сторону буквою a, а підстава - b. Позначте рівні кути при підставі alpha-. Кожна з медіан ділить бічну сторону на дві рівні частини a / 2. Позначте довжину шуканої медіани x.

За теоремою косинусів можна виразити будь-яку сторону трикутника через дві інші і косинус кута між ними. Запишемо теорему косинусів для трикутника AEC: AEsup2- = ACsup2- + CEsup2- - 2ACmiddot-CEmiddot-cosang-ACE. Або, що те ж, (3x) sup2- = (a / 2) sup2- + bsup2- - 2middot-ab / 2middot-cosalpha- = asup2- / 4 + bsup2- - abmiddot-cosalpha-. За умовами завдання боку відомі, а ось кут при основі немає, тому обчислення тривають.

Тепер застосуєте теорему косинусів до трикутника ABC, щоб знайти кут при основі: ABsup2- = ACsup2- + BCsup2- - 2ACmiddot-BCmiddot-cosang-ACB. Іншими словами, asup2- = asup2- + bsup2- - 2abmiddot-cosalpha-. Тоді cosalpha- = b / (2a). Підставте цей вираз в попереднє: xsup2- = asup2- / 4 + bsup2- - abmiddot-cosalpha- = asup2- / 4 + bsup2- - abmiddot-b / (2a) = asup2- / 4 + bsup2- - bsup2- / 2 = (asup2- + 2bsup2 -) / 4. Обчисливши корінь правої частини виразу, ви знайдете медіану, проведену до бічної сторони.