Медіана трикутника - це відрізок, проведений з будь-якої його вершини до протилежної сторони, при цьому він ділить її на частини рівної довжини. Максимальне число медиан в трикутнику - три, за кількістю вершин і сторін.
Інструкція
Завдання 1.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, дорівнюють AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, дорівнюють AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
Рішення.
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE = v ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) = v ((200 + 50 - 64) / 4) = v (46,5)? 6,8 (см).
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE = v ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) = v ((200 + 50 - 64) / 4) = v (46,5)? 6,8 (см).
Завдання 2.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
Рішення.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани випливає, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (v3 / 2)? 5,8.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани випливає, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (v3 / 2)? 5,8.
Тепер можливі два варіанти знаходження медіани: за формулою, використаної в першій задачі або по теоремі Піфагора для прямокутного трикутника BDH: DH ^ 2 = BD ^ 2 - BH ^ 2.
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
Завдання 3.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
Рішення.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. За теоремою Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD = v (9 + 16) = v25 = 5.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. За теоремою Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD = v (9 + 16) = v25 = 5.
Аналогічно знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника KDA:
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD = v (16 + 36) = v52? 7,2.
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD = v (16 + 36) = v52? 7,2.
За формулою вираження через сторони знайдіть медіани:
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
Як приручити кактус
Як написати лист подяки співробітнику
Як зробити сервер для ігор
Як очистити тимчасові файли інтернету
Як провести референдум
Як оформити медичну ліцензію
Як закріпити акрилові фарби
Як вилікуватися від псоріазу
Як дізнатися, про що думає моя дівчина