Медіана трикутника - це відрізок, проведений з будь-якої його вершини до протилежної сторони, при цьому він ділить її на частини рівної довжини. Максимальне число медиан в трикутнику - три, за кількістю вершин і сторін.
Інструкція
Завдання 1.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, дорівнюють AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, дорівнюють AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
Рішення.
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE = v ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) = v ((200 + 50 - 64) / 4) = v (46,5)? 6,8 (см).
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE = v ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) = v ((200 + 50 - 64) / 4) = v (46,5)? 6,8 (см).
Завдання 2.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
Рішення.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани випливає, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (v3 / 2)? 5,8.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани випливає, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (v3 / 2)? 5,8.
Тепер можливі два варіанти знаходження медіани: за формулою, використаної в першій задачі або по теоремі Піфагора для прямокутного трикутника BDH: DH ^ 2 = BD ^ 2 - BH ^ 2.
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
Завдання 3.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
Рішення.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. За теоремою Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD = v (9 + 16) = v25 = 5.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. За теоремою Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD = v (9 + 16) = v25 = 5.
Аналогічно знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника KDA:
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD = v (16 + 36) = v52? 7,2.
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD = v (16 + 36) = v52? 7,2.
За формулою вираження через сторони знайдіть медіани:
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
Як встановити "операційну" XP
Як перестати худнути
Як розблокувати радіотелефон
Як створювати образ за допомогою Alcohol
Як передати дані по локальній мережі
Як вивести кліщів у кішки
Як виростити жито
Як стимулювати ріст волосся на голові
Як зробити свічку з мила