ЯК обчислити довжину вектора

Вектор - відрізок, у якого є не тільки довжина, але і напрям. Вектори відіграють велику роль в математиці, але особливо у фізиці, оскільки фізика дуже часто має справу з величинами, які зручно представляти у вигляді векторів. Тому в математичних і фізичних розрахунках може виникнути необхідність обчислити довжину вектора, заданого координатами.

Інструкція

У будь-якій системі координат вектор визначають через дві точки - початок і кінець. Наприклад, в декартових координатах на площині вектор позначається як (x1, y1- x2, y2). У просторі, відповідно, у кожної точки буде по три координати, і вектор постане у вигляді (x1, y1, z1- x2, y2, z2). Зрозуміло, вектор можна визначити і для чотиривимірного, і для будь-якого іншого простору. Його буде набагато важче уявити, але з точки зору математики всі обчислення, пов'язані з ним, залишаться колишніми.

Довжину вектора ще називають його модулем. Якщо A - вектор, то | A | - число, рівне його модулю. Наприклад, будь-яке дійсне число можна представити як одновимірний вектор з початком у точці нуля. Скажімо, число -2 буде вектором (0- -2). Модуль такого вектора буде дорівнює квадратному кореню з квадрата координати його кінця, тобто v ((- 2) ^ 2) = 2.

У загальному вигляді, якщо A = (0, x), то | A | = v (x ^ 2). З цього, зокрема, випливає, що модуль вектора не залежить від його напряму - числа 2 і -2 рівні по модулю.

Перейдемо до декартовим координатам на площині. І в цьому випадку найпростіше обчислити довжину вектора, якщо його початок збігається з початком координат. Квадратний корінь потрібно буде витягти з суми квадратів координат закінчення вектора. | 0, 0- x, y | = v (x ^ 2 + y ^ 2) .Наприклад, якщо у нас є вектор A = (0, 0- 3, 4), то його модуль | A | = v (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 5.

Фактично, ви обчислюєте модуль за формулою Піфагора про гіпотенузі прямокутного трикутника. Координатні відрізки, що задають вектор, грають роль катетів, а вектор служить гипотенузой, квадрат якої, як відомо, дорівнює сумі їх квадратів.

Коли почало вектора чи не знаходиться в точці відліку координат, обчислення модуля стає трохи більш трудомістким. У квадрат доведеться зводити не координати кінця вектора, а різниці між координатою кінця і відповідної координатою початку. Легко помітити, що, якщо координата початку дорівнює нулю, то формула перетворюється в попередню. Ви точно так само користуєтеся тут теоремою Піфагора - різниці координат стають довжинами катетів.

Якщо A = (x1, y1- x2, y2), то | A | = v ((x2 - x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2). Припустимо, що нам заданий вектор A = (1, 2 4, 6). Тоді його модуль дорівнює | A | = v ((4 - 1) ^ 2 + (6 - 2) ^ 2) = 5. Якщо ви побудуєте на координатної площині цей вектор і порівняйте його з попереднім, то легко побачите, що вони рівні між собою, що і стає очевидним при обчисленні їх довжини.

Ця формула універсальна, і її легко узагальнити на випадок, коли вектор розташований не на площині, а в просторі, або навіть має більше трьох координат. Його довжина раніше буде дорівнює квадратному кореню з суми квадратів різниць координат кінця і початку.