ЯК знайти нормаль площині

Нормаль площині n (вектор нормалі до площини) - це будь спрямований перпендикуляр до неї (ортогональний вектор). Подальші викладки по визначенні нормалі залежать від способу завдання площині.

Інструкція

Якщо задано загальне рівняння площини - AX + BY + CZ + D = 0 або його форма A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0, то можна відразу записати відповідь - n (А , В, С). Справа в тому, що це рівняння було отримано, як задача визначення рівняння площини по нормалі і точці.

Для отримання загальної відповіді, вам знадобиться векторний добуток векторів через те, що останнє завжди перпендикулярно вихідним векторам. Отже, векторним добутком векторів, є деякий вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля першого (а) на модуль другого (b) і на синус кута між ними. При цьому цей вектор (позначте його через n) ортогонален a і b - це головне. Трійка цих векторів права, тобто з кінця n найкоротший поворот від a до b відбувається проти годинникової стрілки.
[A, b] - одне із загальноприйнятих позначень векторного твори. Для обчислення векторного добутку в координатній формі, використовується вектор-визначник (див. Рис.1)

Для того щоб не плутатися зі знаком «-», перепишіть результат у вигляді: n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) + k (axby-aybx), і в координатах : {nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Більше того, щоб не плутатися з чисельними прикладами випишете всі отримані значення окремо: nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx.

Поверніться до вирішення поставленого завдання. Площину можна задати різними способами. Нехай нормаль до площини визначається двома неколінеарних векторами, причому відразу чисельно.
Нехай дано вектори a (2, 4, 5) і b (3, 2, 6). Нормаль до площини збігається з їх векторним твором і, як тільки що було з'ясовано дорівнюватиме n (nx, ny, nz),
nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx. В даному випадку ax = 2, ay = 4, az = 5, bx = 3, by = 2, bz = 6. Таким чином,
nx = 24-10 = 14, ny = 12-15 = -3, nz = 4-8 = -4. Нормаль знайдена - n (14, -3, -4). При цьому вона є нормаллю до цілого сімейства площин.