? ЯК обчислити об'єм конуса

Конус (точніше, круговий конус) - тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Будучи тривимірним тілом, конус характеризується, крім усього іншого, обсягом. Цей обсяг потрібно вміти обчислювати.

Інструкція

Конус можна задати різними способами. Наприклад, може бути відомий радіус його основи і довжина бокової сторони. Інший варіант - радіус основи і висота. Нарешті, ще один спосіб завдання кругового конуса полягає в тому, щоб вказати кут при його вершині і висоту. Як легко переконатися, всі ці способи визначають круговий конус однозначно.

Найчастіше відомі радіус підстави і висота конуса. У цьому випадку спочатку потрібно обчислити площу основи. За формулою кола вона буде дорівнює? R ^ 2, де R - радіус основи конуса. Тоді обсяг усього тіла дорівнює? R ^ 2 * h / 3, де h - висота конуса. Цю формулу легко перевірити за допомогою інтегрального числення. Таким чином, обсяг кругового конуса рівно втричі менше обсягу циліндра з тими ж самими основою і висотою.

Якщо висота не задана, а замість цього відомі радіус підстави і довжина бокової сторони, то для визначення обсягу спочатку доведеться знайти висоту. Оскільки бічна сторона являє собою гіпотенузу прямокутного трикутника, а радіус основи служить одним з його катетів, то висота буде другим катетом того ж самого трикутника. За теоремою Піфагора h = v (l ^ 2 - R ^ 2), де l - довжина бокової сторони конуса. Очевидно, що ця формула буде мати сенс тільки тоді, коли l? R. При цьому, якщо l = R, то висота звертається в нуль, оскільки конус в цьому випадку перетворюється в коло. Якщо ж l < R, то существование такого конуса невозможно.

Якщо відомий кут при вершині конуса і його висота, то для обчислення обсягу потрібно знайти радіус підстави. Щоб це зробити, доведеться звернутися до геометричного визначення конуса як тіла, утвореного обертанням прямокутного трикутника. При цьому відомий кут при вершині буде вдвічі більше відповідного кута цього трикутника. Тому кут при вершині зручно позначити 2 ?. Тоді кут трикутника дорівнюватиме?.

За визначенням тригонометричних функцій, шуканий радіус дорівнює l * sin (?), Де l - довжина бокової сторони конуса. У той же час відома за умовою задачі висота конуса дорівнює l * cos (?). З цих рівностей легко вивести, що R = h / cos (?) * Sin (?) Або, що те ж саме, R = h * tg (?). Ця формула завжди має сенс, оскільки кут?, Будучи гострим кутом прямокутного трикутника, завжди буде менше 90 °.