ЯК знайти золотий перетин

Золотий перетин - пропорція, яку здавна вважали найбільш досконалою і гармонійною. Вона закладена в основу конструкцій безлічі древніх споруд, від статуй до храмів, і дуже часто зустрічається в природі. Разом з тим ця пропорція виражається дивно витонченими математичними конструкціями.

Інструкція

Золота пропорція визначається таким чином: це таке розбиття відрізка на дві частини, що менша частина відноситься до більшої так само, як більша частина - до всього відрізку.

Якщо довжину всього відрізка прийняти за 1, а довжину здебільшого - за x, то шукана пропорція виразиться рівнянням:

(1 - x) / x = x / 1.

Множачи обидві частини пропорції на x і переносячи доданки, одержуємо квадратне рівняння:

x ^ 2 + x - 1 = 0.

Рівняння має два дійсних корені, з яких нас, природно, цікавить тільки позитивний. Він дорівнює (v5 - 1) / 2, що приблизно дорівнює 0,618. Це число і висловлює золотий перетин. У математиці його найчастіше позначають буквою?.

Число? володіє рядом чудових математичних властивостей. Наприклад, навіть з вихідного рівняння видно, що 1 /? =? + 1. Дійсно, 1 / (0,618) = 1,618.

Інший спосіб обчислити золоту пропорцію полягає у використанні нескінченної дробу. Починаючи з будь-якого довільного x, можна послідовно побудувати дріб:

x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)

і так далі.

Для полегшення обчислень цей дріб можна представити у вигляді итеративной процедури, в якій для обчислення наступного кроку потрібно додати одиницю до результату попереднього кроку і розділити одиницю на число, що вийшло. Іншими словами:

x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).

Цей процес сходиться, і його межа дорівнює? + 1.

Якщо замінити обчислення оберненої величини витяганням квадратного кореня, тобто провести ітеративний цикл:

x0 = x
x (n + 1) = v (xn + 1),

то результат залишиться незмінним: незалежно від спочатку обраного x ітерації сходяться до значення? + 1.

Геометрично золотий перетин можна побудувати за допомогою правильного п'ятикутника. Якщо провести в ньому дві пересічні діагоналі, то кожна з них розділить іншу строго в золотом співвідношенні. Це спостереження, згідно з переказами, належить Піфагору, який був так вражений знайденої закономірністю, що вважав за правильну п'ятикутну зірку (пентаграму) священним божественним символом.

Причини, з яких саме золотий перетин здається людині найбільш гармонійним, невідомі. Однак експерименти неодноразово підтверджували, що випробовувані, яким було доручено найбільш красиво розділити відрізок на дві нерівні частини, роблять це в пропорціях, дуже близьких до золотого співвідношенню.