Поняття тотожності в математиці означає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях аргументів входять до нього функцій. Тригонометричні тотожності - Це рівності тригонометричних функцій, доведені і прийняті для полегшення роботи з тригонометричними формуламі.Трігонометріческая функція - це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше використовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) і cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також зворотні функції, наприклад, синус - арксинус, косинус - арккосинус і т.д.Ізначально тригонометричні функції знайшли відображення в геометрії, потім поширилися в інші області науки: фізику, хімію, географію, оптику, теорію ймовірностей, а також акустику, теорію музики, фонетику, комп'ютерну графіку і багато інших. Тепер уже важко уявити собі математичні розрахунки без цих функцій, хоча в далекому минулому вони застосовувалися тільки в астрономії та архітектуре.Трігонометріческіе тотожності застосовуються для полегшення роботи з довгими тригонометричними формулами і приведення їх до легкотравне увазі. Основних тригонометричних тотожностей шість, вони пов'язані з прямими тригонометричними функціями: • tg? = Sin? / Cos? - • sin ^ 2? + Cos ^ 2? = 1 • 1 + tg ^ 2? = 1 / cos ^ 2? - • 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / sin ^ 2? - • sin (? / 2 -?) = Cos? - • cos (? / 2 -?) = Sin? .Ці тотожності легко довести з властивостей співвідношення сторін і кутів у прямокутному трикутнику: sin? = BC / AC = b / c- cos? = AB / AC = a / c- tg? = B / a.Первое тотожність tg? = Sin? / Cos? випливає з співвідношення сторін у трикутнику і виключенням боку c (гіпотенузи) при діленні sin на cos. Таким же чином визначається тотожність ctg? = Cos? / Sin?, Оскільки ctg? = 1 / tg? .По Теоремі Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Розділимо це рівність на c ^ 2, отримаємо друге тотожність: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => sin ^ 2? + Cos ^ 2? = 1.Третье і четверте тотожності отримує шляхом поділу, відповідно, на b ^ 2 і a ^ 2: a ^ 2 / b ^ 2 + 1 = c ^ 2 / b ^ 2 => tg ^ 2? + 1 = 1 / cos ^ 2? -1 + B ^ 2 / a ^ 2 = c ^ 2 / a ^ 2 => 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / sin ^? або 1 + ctg ^ 2? = 1 / sin ^ 2? .П'ять І шосте основні тотожності доводяться через визначення суми гострих кутів прямокутного трикутника, яка дорівнює 90 ° або? /2.Более складні тригонометричні тотожності: Формули додавання аргументів, подвійного і потрійного кута, зниження ступеня, перетворення суми або добутку функцій, а також формули тригонометричної підстановки, а саме вираження основних тригонометричних функцій через tg половинного кута: sin? = (2 * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2) -cos? = (1 - tg ^ 2? / 2) / (1 = tg ^ 2? / 2) -tg? = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).