ЯК знайти площу перерізу кулі :: Площа перетину кулі формула

Нехай дано куля з радіусом R, який на деякій відстані b від центру перетинає площину. Відстань b менше або дорівнює радіусу кулі. Потрібно знайти площа S виходить при цьому перетину.

Інструкція

Очевидно, що якщо відстань від центру кулі до площини дорівнює радіусу площині, то площину стосується кулі тільки в одній точці, і площа перетину буде дорівнювати нулю, тобто якщо b = R, то S = 0. Якщо b = 0, то січна площина проходить через центр кулі. У цьому випадку перетин буде являти собою коло, радіус якого збігається з радіусом кулі. Площа цього кола буде, згідно з формулою, дорівнює S =? R ^ 2.

Ці два крайніх випадку дають кордону, між якими завжди буде лежати шукана площа: 0 < S < ?R^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Оскільки відстань від точки до площини визначається як довжина відрізка, перпендикулярного площині і починається в точці, другий кінець цього відрізка буде збігатися з центром кола перетину. Такий висновок випливає з визначення кулі: очевидно, що всі точки кола перетину належать сфері, а отже, лежать на рівній відстані від центру кулі. Це означає, що кожна точка окружності перетину може вважатися вершиною прямокутного трикутника, гіпотенузою якого служить радіус кулі, одним з катетів - перпендикулярний відрізок, що з'єднує центр кулі з площиною, а другий катетом - радіус кола перерізу.

З трьох сторін цього трикутника задані два - радіус кулі R і відстань b, тобто гіпотенуза і катет. За теоремою Піфагора довжина другого катета повинна дорівнювати v (R ^ 2 - b ^ 2). Це і є радіус кола перерізу. Підставляючи знайдене значення радіуса в формулу площі круга, легко прийти до висновку, що площа перетину кулі площиною дорівнює: S =? (R ^ 2 - b ^ 2) .В окремих випадках, коли b = R або b = 0, виведена формула повністю узгоджується з уже знайденими результатами.