ЯК скласти рівняння кола :: як скласти формулу окружності по відомим координатам точок

Окружність - сукупність точок, що лежать на відстані R від заданої точки (центру окружності). Рівнянням окружності в декартових координатах називається таке рівняння, що для будь-якої точки, що лежить на окружності, її координати (x, y) задовольняють цьому рівнянню, а для будь-якої точки, що не лежить на окружності - Не задовольняють.

Інструкція

Припустимо, що ваше завдання - скласти рівняння окружності заданого радіуса R, центр якої знаходиться в початку координат. Окружність, за визначенням - безліч точок, що знаходяться на заданій відстані від центру. Це відстань якраз і дорівнює радіусу R.

Відстань від точки (x, y) до центру координат дорівнює довжині відрізка, що з'єднує її з точкою (0, 0). Цей відрізок разом з його проекціями на координатні осі складають прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють x0 і y0, а гіпотенуза, по теоремі Піфагора, дорівнює v (x ^ 2 + y ^ 2).

Щоб отримати окружність, вам потрібно рівняння, що визначає всі крапки, для яких ця відстань буде одно R. Таким чином: v (x ^ 2 + y ^ 2) = R, а отже,
x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2.

Аналогічним способом складається рівняння окружності радіусом R, центр якої знаходиться в точці (x0, y0). Відстань від довільної точки (x, y) до заданої точки (x0, y0) дорівнює v ((x - x0) ^ 2 + (y - y0) ^ 2). Отже, рівняння потрібної вам окружності буде виглядати так: (x - x0) ^ 2 + (y - y0) ^ 2 = R ^ 2.

Вам може знадобитися також скласти рівняння окружності з центром в точці координат, що проходить через задану точку (x0, y0). У цьому випадку радіус шуканої окружності не заданий в явному вигляді, і його доведеться обчислювати. Очевидно, він буде дорівнює відстані від точки (x0, y0) до початку координат, тобто v (x0 ^ 2 + y0 ^ 2). Підставляючи це значення в уже виведене рівняння окружності, ви отримаєте: x ^ 2 + y ^ 2 = x0 ^ 2 + y0 ^ 2.

Якщо вам належить побудувати окружність по виведеним формулам, то їх доведеться вирішувати щодо y. Навіть найпростіше з цих рівнянь при цьому перетворюється в: y = ± v (R ^ 2 - x ^ 2) .Знак ± необхідний тут тому, що квадратний корінь числа завжди неотрицателен, а це означає, що без знака ± таке рівняння описує тільки верхню полуокружность.Чтоби побудувати окружність, зручніше скласти її параметричне рівняння, в якому обидві координати x і y залежать від параметра t.

Згідно з визначенням тригонометричних функцій, якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 1, а один з кутів при гіпотенузі дорівнює?, То прилегла до нього катет дорівнює cos (?), А протилежний - sin (?). Таким чином, sin (?) ^ 2 + cos (?) ^ 2 = 1 для будь-якого?.

Припустимо, вам дана окружність одиничного радіуса з центром в початку координат. Візьмемо будь-яку точку (x, y) на цій окружності і проведемо від неї відрізок до центру. Цей відрізок утворює кут з позитивною полуосью x, який може дорівнювати від 0 до 360 ° або від 0 до 2? радіан. Позначаючи цей кут t, ви отримаєте залежність: x = cos (t),
y = sin (t).

Цю формулу можна узагальнити на випадок окружності радіуса R з центром у довільній точці (x0, y0): x = R * cos (t) + x0,
y = R * sin (t) + y0.