? ЯК обчислювати комплексні числа

Комплексні числа - подальше розширення поняття числа в порівнянні з дійсними числами. Введення в математику комплексних чисел дозволило надати закінчений вигляд багатьом закономірностям і формулами, а також виявило глибокі зв'язки між різними областями математичної науки.

Інструкція

Як відомо, ніяке дійсне число не може бути квадратним коренем з від'ємного числа, тобто, якщо b < 0, то невозможно найти такое a, чтобы a^2 = b.

У зв'язку з цим було вирішено ввести нову одиницю, за допомогою якої можна було б висловити таке a. Вона отримала назву уявної одиниці та позначення i. Уявна одиниця дорівнює квадратному кореню з -1.

Оскільки i ^ 2 = -1, то v (-b ^ 2) = v ((- 1) * b ^ 2) = v (-1) * v (b ^ 2) = ib. Так вводиться поняття уявного числа. Будь-яке уявне число можна виразити у вигляді ib, де b - дійсне число.

Дійсні числа можна представити у вигляді числової осі від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Уявні числа виявилося зручно представити у вигляді аналогічної осі, перпендикулярній осі дійсних чисел. Разом вони складають координати числовий площині.

При цьому кожній точці числової площини з координатами (a, b) відповідає одне і тільки одне комплексне число виду a + ib, де a і b - дійсні числа. Перший доданок цієї суми називається дійсною частиною комплексного числа, друге - уявною частиною.

Якщо a = 0, то комплексне число називається чисто уявним. Якщо b = 0, то число називається дійсним.

Знак додавання між дійсною і уявною частинами комплексного цифри не позначає їх арифметичної суми. Швидше комплексне число можна представити у вигляді вектора, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці (a, b).

Як у всякого вектора, у комплексного числа є абсолютне значення, або модуль. Якщо z = x + iy, то | z | = v (x2 + y ^ 2).

Два комплексних числа вважаються рівними тільки в тому випадку, якщо дійсна частина одного дорівнює дійсній частині іншого і уявна частина одного дорівнює уявної частини іншого, тобто:

z1 = z2, якщо x1 = x2 і y1 = y2.

Однак для комплексних чисел не мають сенсу знаки нерівності, тобто не можна сказати, що z1 < z2 или z1 > z2. Порівнювати таким чином можна тільки модулі комплексних чисел.

Якщо z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 - комплексні числа, то:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) -
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2) -

Легко помітити, що додавання і віднімання комплексних чисел підпорядковується тим же правилом, що додавання і віднімання векторів.

Добуток двох комплексних чисел одно:

z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

Оскільки i ^ 2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:

(X1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

Операції зведення в ступінь і добування кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексній області для будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b ^ n = a, тобто n коренів n-го ступеня.

Зокрема, це означає, що будь-яке алгебраїчне рівняння n-го ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і дійсними.