ЯК знайти факторіал числа

Факторіал числа - математичне поняття, уживане тільки для цілих невід'ємних чисел. Ця величина являє собою добуток всіх натуральних числі від 1 до заснування факторіала. Поняття знаходить застосування в комбінаториці, теорії чисел і функціональному аналізі.

Інструкція

Щоб знайти факторіал числа, необхідно обчислити добуток всіх чисел, в проміжку від 1 до заданого числа. Загальна формула виглядає таким чином:

n! = 1 * 2 * ... * n, де n - будь-яке ціле невід'ємне число. Факторіал прийнято позначати знаком оклику.

Основні властивості факторіалів:

• 0! = 1

• n! = N * (n-1)! -

• n! ^ 2? n ^ n? n! ? n.

Друга властивість факторіала називається рекурсією, а сам факторіал - елементарної рекурсивної функцією. Рекурсивні функції часто застосовуються в теорії алгоритмів і в написанні комп'ютерних програм, оскільки багато алгоритми і функції програмування мають рекурсивну структуру.

Визначити факторіал великого числа можна за формулою Стірлінга, яка дає, однак, наближена рівність, але з маленькою похибкою. Повна формула виглядає наступним чином:

n! = (N / e) ^ n * v (2 *? * N) * (1 + 1 / (12 * n) + 1 / (288 * n ^ 2) + ...)
ln (n!) = (n + 1/2) * ln n - n + ln v (2 *?),

де e - основа натурального логарифма, число Ейлера, чисельне значення якого прийнято приблизно рівним 2,71828 ... -? - Математична константа, значення якої прийнято рівним 3,14.

Широко поширене використання формули Стірлінга у вигляді:

n! ? v (2 *? * n) * (n / e) ^ n.

Існують різні узагальнення поняття факторіала, наприклад, подвійний, m-кратний, регресний, зростаючий, прайморіал, суперфакторіал. Подвійний факторіал позначається !! і дорівнює добутку всіх натуральних чисел на інтервалі від 1 до самого числа, що мають ту ж парність, наприклад, 6 !! = 2 * 4 * 6.

m-кратний факторіал - загальний випадок подвійного факторіала для будь-якого цілого невід'ємного числа m:
для n = mk - r справедливо n! ... !! =? (M * I - r), де r - безліч цілих чисел від 0 до m-1, I - належить безлічі чисел від 1 до k.

Зростаючий факторіал записується таким чином:
(N) _k = n! / (N - k)!

Зростаючий:
(N) ^ k = (n + k -1)! / (N - 1)!

Прайморіал числа дорівнює добутку простих чисел менше самого числа і позначається #, наприклад:
12 # = 2 * 3 * 5 * 7 * 11, очевидно, що 13 # = 11 # = 12 #.

Суперфакторіал дорівнює добутку факторіалів чисел на інтервалі від 1 до вихідного числа, тобто .:
sf (n) = 1! * 2! * 3 * ... (n - 1)! * n !, наприклад, sf (3) = 1! * 2! * 3! = 1 * 1 * 2 * 1 * 2 * 3 = 12.