ЯК звести комплексне число в ступінь

Дійсних чисел не достатньо для того, щоб вирішити будь квадратне рівняння. Просте з квадратних рівнянь, які не мають коренів серед дійсних чисел - це x ^ 2 + 1 = 0. При його вирішенні виходить, що x = ± sqrt (-1), а згідно із законами елементарної алгебри, витягти корінь парному ступеня з негативного числа можна. В даному випадку є два шляхи: слідувати встановленим заборонам і вважати, що це рівняння коренів не має, або ж розширити систему дійсних чисел до такої міри, що рівняння буде мати коренем.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Так з'явилося поняття комплексних чисел виду z = a + ib, в яких (i ^ 2) = - 1, де i - уявна одиниця. Числа a і b називаються, відповідно, дійсною і уявною частинами числа z Rez і Imz.

Важливу роль у діях з комплексними числами грають числа комплексно-зв'язані. Сполученим до комплексного числа z = a + ib називається zs = a-ib, тобто число має протилежний знак перед уявною одиницею. Так, якщо z = 3 + 2i, то zs = 3-2i. Будь-яке дійсне число є окремим випадком комплексного числа, уявна частина якого дорівнює нулю. 0 + i0 - комплексне число, рівне нулю.

Комплексні числа можна складати і множити так само, як це роблять з алгебраїчними виразами. При цьому звичні закони додавання і множення залишаються в силі. Нехай z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2.Сложеніе і вичітаніе.z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2), z1-z2 = (a1-a2) + i (b1-b2) . Умноженіе.z1 * z2 = (a1 + ib1) (a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + (i ^ 2) b1b2 = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + a2b1) .При множенні просто розкривають дужки і застосовують визначення i ^ 2 = -1. Твір комплексно-сполучених чисел є дійсним числом: z * zs = (a + ib) (a-ib) == a ^ 2- (i ^ 2) (b ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2.

Деленіе.Чтоби привести приватна z1 / z2 = (a1 + ib1) / (a2 + ib2) до стандартного вигляду потрібно позбавитися від уявної одиниці в знаменнику. Для цього найпростіше помножити чисельник і знаменник на число, поєднане знаменника: ((a1+ib1)(a2-ib2))/((a2+ib2)(a2-ib2))=((a1a2+b1b2)+i(a2b1-a1b2))/(a^2+b^2)=(a1a2+b1b2)/(a^2+b^2)+i(a2b1-a1b2)/(a^2+b^2).Операции додавання і віднімання, а також множення і ділення є взаємно зворотними.

Приклад. Обчислити (1-3i)(4+i)/(2-2i)=(4-12i+i+3)(2+2i)/((2-2i)(2+2i))=(7-11i)(2+2i)/(4+4)=(14+22)/8+i(-22+14)/8=9/2-iРассмотрите геометричну інтерпретацію комплексних чисел. Для цього на площині з прямокутною декартовій системою координат 0xy кожному комплексному числу z = a + ib необхідно поставити у відповідність точку площини з координатами a і b (див. Рис. 1). Площина, на якій реалізовано таку відповідність, називається комплексної площиною. На осі 0x розташовані дійсні числа, тому вона називається дійсною віссю. На осі 0y розташовані уявні числа, вона носить назву уявної осі.

C кожною точкою z комплексної площини пов'язаний радіус-вектор цієї точки. Довжина радіус-вектора, який зображує комплексне число z, називається модулемr = | z | комплексного числа- а кут, між позитивним напрямом дійсної осі і напрямом вектора 0Z, називається аргументом argz цього комплексного числа.

Аргумент комплексного числа вважається позитивним, якщо він відраховується від позитивного напрямку осі 0x проти годинникової стрілки, і негативним при протилежному напрямку. Одному комплексному числу відповідає безліч значень аргументу argz + 2пk. З цих значень головними вважаються значення argz, що лежать в межах від -п до п. Парні комплексні числа z і zs мають рівні модулі, а їхні аргументи рівні за абсолютною величиною, але відрізняються знаком. Таким чином, | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, | z | = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). Так, якщо z = 3-5i, то | z | = sqrt (9 + 25) = 6. Крім того, так як z * zs = | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, то стає можливим обчислення модулів цілих комплексних виразів, в яких уявна одиниця може з'являтися багато разів.

Так як z = (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = 9/2-i, то безпосереднє обчислення модуля z дасть | z | ^ 2 = 81/4 + 1 = 85/4 і | z | = sqrt (85) /2.Мінуя стадію обчислення вираз, враховуючи, що zs = (1 + 3i) (4-i) / (2 + 2i), можна записати: | z | ^ 2 = z * zs = = (1-3i) (1 + 3i) (4 + i) (4-i) / ((2-2i) (2 + 2i)) = (1 + 9) (16 + 1) / (4 + 4 ) = 85/4 і | z | = sqrt (85) / 2.