ЯК знайти площу трапеції, якщо відомі діагоналі :: Площа трапеції через діагоналі

Трапецією називається чотирикутник, дві сторони якого один одному паралельні. Основна формула площі трапеції - твір напівсуми основи на висоту. У деяких геометричних задачах на знаходження площі трапеції використовувати основну формулу неможливо, але дані довжини діагоналей. Як бути?

Інструкція

Загальна формула

Використовуйте загальну формулу площі для довільного чотирикутника:

S = 1/2 • AC • BD • sin ?, де AC і BD - довжини діагоналей,? - Кут між діагоналями.

Якщо потрібно довести або вивести цю формулу, розбийте трапецію на 4 трикутника. Запишіть формулу площі кожного з трикутників (1/2 твори сторін на синус кута між ними). Беріть той кут, який утворюється перетином діагоналей. Далі використовуйте властивість адитивності площі: запишіть площа трапеції як суму площ утворюють її трикутників. Згрупуйте доданки, винісши множник 1/2 і синус за дужки (враховуючи, що sin (180 ° -?) = Sin?). Отримайте вихідну формулу площі чотирикутника.

Взагалі, корисно розглядати площа трапеції як суму площ складових її трикутників. Найчастіше це є ключем до вирішення завдання.

Важливі теореми

Теореми, які можуть знадобитися, якщо числове значення кута між діагоналями не задано в явному вигляді:

1) Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °.

У загальному випадку, сума всіх кутів опуклого багатокутника дорівнює 180 ° • (n-2), де n - число сторін багатокутника (рівне числу його кутів).

2) Теорема синусів для трикутника зі сторонами a, b і c:

a / sinA = b / sinB = c / sinC, де A, B, C - кути, що лежать напроти сторін a, b, c відповідно.

3) Теорема косинусів для трикутника зі сторонами a, b і c:

c? = a? + b? -2 • a • b • cos ?, де? - Кут трикутника, утворений сторонами a і b. Теорема косинусів має своїм окремим випадком знамениту теорему Піфагора, тому cos90 ° = 0.

Особливі властивості трапеції - равнобокой

Зверніть увагу на властивості трапеції, зазначені в умові завдання. Якщо дана рівнобедрена трапеція (бічні сторони рівні), використовуйте то її властивість, що діагоналі в ній рівні.

Особливі властивості трапеції - наявність прямого кута

Якщо дана прямокутна трапеція (один з кутів трапеції прямий), розгляньте прямокутні трикутники, що знаходяться всередині трапеції. Згадайте, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його сторін, що утворюють прямий кут, тому sin90 ° = 1.