ЯК скласти диференціальне рівняння

Вивчення курсу диференціального обчислення завжди починається зі складання диференціальних рівнянь. Насамперед розглядають кілька фізичних задач, при математичному вирішенні яких неминуче виникають похідні різних порядків. Рівняння, які містять аргумент, шукану функцію та її похідні називають диференціальними.

Вам знадобиться

- ручка;
- папір.

Інструкція

У вихідних фізичних задачах аргументом, найчастіше, є час t. Загальний принцип складання диференціального рівняння (ДУ) полягає в тому, що на малих збільшеннях аргументу функції майже не змінюються, що дозволяє замінювати приросту функції їх диференціалами. Якщо в постановці завдання мова зайде про швидкість зміни будь-якого параметра, то відразу слід писати похідну параметра (зі знаком мінус, якщо деякий параметр зменшується).

Якщо в процесі міркувань і викладок виникли інтеграли, їх можна усунути дифференцированием. І нарешті, у фізичних формулах похідних і так більш ніж достатньо. Найголовніше - розглянути якомога більше прикладів, які в процесі рішення необхідно довести до стадії складання ДУ.

Приклад 1. Як розрахувати зміна напруги на виході заданої інтегруючого RC - ланцюга, при заданому вхідному впливі?

Рішення. Нехай вхідна напруга U (t), а шукане вихідна u (t) (див. Рис.1).
Вхідна напруга складається з суми вихідної u (t) і падіння напруги на опору R - Ur (t).
U (t) = Ur (t) + Uc (t) - за законом Ома Ur (t) = i (t) R, i (t) = C (dUc / dt). З іншого боку Uc (t) = u (t), а i (t) - струм ланцюга (в тому числі і на ємності С). Значить i = C (du / dt), Ur = RC (du / dt). Тоді баланс напруг в електричному ланцюзі можна переписати у вигляді: U = RC (du / dt) + u. Вирішуючи це рівняння щодо першої похідної, маємо:
u '(t) = - (1 / RC) u (t) + (1 / RC) U (t).
Це ДУ першого порядку. Вирішенням завдання буде його загальне рішення (неоднозначне). Для отримання однозначного рішення треба задавати початкові умови (крайові) у вигляді u (0) = u0.

Приклад 2. Знайти рівняння гармонічного осцилятора.

Рішення. Гармонійний осцилятор (коливальний контур) - основний елемент радіопередавальних і радіоприймальних пристроїв. Це замкнуте електричне коло, що містить паралельно з'єднані ємність С (конденсатор) і індуктивність L (котушка). Відомо, що струми і напруги на таких реактивних елементах пов'язані равенствами Iс = C (dUc / dt) = CU'c,
Ul = -L (dIl / dt) = - LI'l. Тому в цьому завданні всі напруги і всі струми однакові, то остаточно
I '' + (1 / LC) I = 0.
Отримано ДУ другого порядку.