ЯК знайти точку перетину кіл :: знайти точку перетину трьох кіл

Геометричні завдання, які вирішуються аналітично за допомогою прийомів алгебри, є невід'ємною частиною програми шкільного навчання. Крім логічного і просторового мислення вони розвивають розуміння ключових взаємозв'язків між сутностями навколишнього світу і абстракціями, застосовуваними людьми для формалізації відносин між ними. Знаходження точок перетину найпростіших геометричних фігур - один з типів подібних завдань.

Інструкція

Припустимо, що дано дві окружності, задані своїми радіусами R і r, а також координатами їх центрів - відповідно (x1, y1) і (x2, y2). Потрібно обчислити, чи перетинаються ці кола, і якщо так, то знайти координати точок перетину.Для простоти можна припустити, що центр однієї із заданих кіл збігається з початком координат. Тоді (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Також має сенс припускати, що a? 0 і b? 0.

Таким чином, координати точки (або точок) перетину кіл, якщо вони є, повинні задовольняти системі з двох рівнянь: x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2,
(X - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2.

Після розкриття дужок рівняння набувають вигляду: x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2,
x ^ 2 + y ^ 2 - 2ax - 2by + a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2.

Тепер перше рівняння можна відняти з другого. Таким чином, квадрати змінних зникають, і виникає лінійне рівняння: -2ax - 2by = r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2. З його допомогою можна виразити y через x: y = (r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2 - 2ax) / 2b.

Якщо підставити знайдене вираз для y в рівняння кола, завдання зводиться до вирішення квадратного рівняння: x ^ 2 + px + q = 0, гдеp = -2a / 2b,
q = (r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) / 2b - R ^ 2.

Коріння цього рівняння дозволять знайти координати точок перетину кіл. Якщо рівняння нерозв'язне в дійсних числах, то окружності не перетинаються. Якщо коріння збігаються між собою, то окружності стосуються один одного. Якщо коріння різні, то кола перетинаються.

Якщо a = 0 або b = 0, то вихідні рівняння спрощуються. Наприклад, при b = 0 система рівнянь прийме вигляд: x ^ 2 + y2 = R ^ 2,
(X - a) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2.

Після вирахування першого рівняння з другого виходить: - 2ax + a ^ 2 = r ^ 2 - R ^ 2.Его рішення: x = - (r ^ 2 - R ^ 2 - a2) / 2a. Очевидно, що у випадку b = 0 центри обох кіл лежать на осі абсцис, і у точок їх перетину буде однакова абсциса.

Цей вираз для x можна підставити в перше рівняння кола і отримати квадратне рівняння щодо y. Його коріння - ординати точок перетину, якщо такі існують. Аналогічним чином знаходиться вираз для y, якщо a = 0.

Якщо a = 0 і b = 0, але при цьому R? r, то одна з кіл свідомо знаходиться всередині іншої, і точки перетину відсутні. Якщо ж R = r, то кола співпадають, і точок їх перетину нескінченно багато.

Якщо ні в однієї з двох кіл центр не збігається з початком координат, то їх рівняння матимуть вигляд: (x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = R ^ 2,
(X - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = r ^ 2.Якщо перейти до нових координатах, получающимся зі старих методом паралельного перенесення: x? = X + x1, y? = Y + y1, то ці рівняння набувають вигляду: x? ^ 2 + y? ^ 2 = R ^ 2,
(X? - (X1 + x2)) ^ 2 + (y? - (Y1 + y2)) ^ 2 = r ^ 2.Задача, таким чином, зводиться до попередньої. Знайшовши рішення для x? і y ?, можна легко повернутися до початкових координатах, звернувши рівняння для паралельного перенесення.