ЯК обчислювати координати точок перетину парабол

Параболи на площині можуть перетинатися в одній або двох точках, або взагалі не мати точок перетину. Пошук таких точок - типова задача алгебри, що входить в програму шкільного курсу.

Інструкція

Переконайтеся в тому, що за умовами завдання вам відомі рівняння обох парабол. Парабола - це крива на площині, що задається рівнянням наступного виду y = axsup2- + bx + c (формула 1), де a, b і c - деякі довільні коефіцієнти, причому коефіцієнт a ne- 0. Таким чином, дві параболи будуть задані за допомогою формул y = axsup2- + bx + c і y = dxsup2- + ex + f. Приклад - задані параболи з формулами y = 2xsup2- - x - 3 і y = xsup2- -x + 1.

Тепер відніміть з одного з рівнянь параболи інше. Проведіть, таким чином, розрахунок такого вигляду: axsup2- + bx + c - (dxsup2- + ex + f) = (ad) xsup2- + (be) x + (cf). Вийшов поліном другого ступеня, коефіцієнти якого ви легко можете вирахувати. Щоб знайти координати точок перетину парабол, досить поставити знак рівності нулю і знайти коріння отриманого квадратного рівняння (ad) xsup2- + (be) x + (cf) = 0 (формула 2). Для наведеного вище прикладу отримаємо y = (2-1) xsup2- -x + x + (-3 - 1) = xsup2- - 4 = 0.

Корені квадратного рівняння (формула 2) шукаємо за відповідною формулою, яка є в будь-якому підручнику алгебри. Для наведеного прикладу існує два кореня x = 2 і x = -2. Крім того, у формулі 2 значення коефіцієнта при квадратичному члені (ad) може бути рівним нулю. У цьому випадку рівняння виявиться не квадратним, а лінійним і завжди буде мати один корінь. Зауважте, в загальному випадку квадратне рівняння (формула 2) може мати два кореня, один корінь, або зовсім не мати жодного - в останньому випадку параболи не перетинаються і завдання не має рішення.

Якщо, все ж, знайдений один або два кореня, їх значення потрібно підставити у формулу 1. У нашому прикладі підставляємо спочатку x = 2, отримуємо y = 3, потім підставляємо x = -2, отримуємо y = 7. Дві отримані точки на площині (2-3) і (-2-7) і є координатами перетину парабол. Інших точок перетину у цих парабол немає.