ЯК знайти фокус на параболі

В алгебрі парабола - насамперед графік квадратного тричлена. Однак існує й геометричне визначення параболи, як сукупності всіх точок, відстань яких від деякої даної точки (фокуса параболи) дорівнює відстані до даної прямої (директриси параболи). Якщо парабола задана рівнянням, то потрібно вміти обчислити координати її фокуса.

Інструкція

Йдучи від зворотного, припустимо, що парабола задана геометрично, тобто відомі її фокус і директриса. Для простоти розрахунків встановимо систему координат так, щоб директриса була паралельна осі ординат, фокус лежав на осі абсцис, а сама вісь ординат проходила точно посередині між фокусом і директоркою. Тоді вершина параболи буде збігатися з початком коордінат.Інимі словами, якщо відстань між фокусом і директоркою позначити p, то координати фокуса будуть рівні (p / 2, 0), а рівняння директриси - x = -p / 2.

Відстань від будь-якої точки (x, y) до точки фокуса дорівнюватиме, за формулою відстані між точками, v (x - p / 2) ^ 2 + y ^ 2). Відстань від цієї ж точки до директриси, відповідно, буде дорівнювати x + p / 2.

Прирівнюючи один одному ці два відстані, ви отримаєте рівняння: v (x - p / 2) ^ 2 + y ^ 2) = x + p / 2.Возводя обидві частини рівняння в квадрат і розкриваючи дужки, ви отримаєте: x ^ 2 - px + (p ^ 2) / 4 + y ^ 2 = x ^ 2 + px + (p ^ 2) /4.Упростів вираз, ви прийдете до остаточному формулюванні рівняння параболи: y ^ 2 = 2px.

З цього видно, що якщо рівняння параболи можна привести до виду y ^ 2 = kx, то координати її фокуса будуть рівні (k / 4, 0). Помінявши змінні місцями, ви прийдете до рівнянню алгебри параболи y = (1 / k) * x ^ 2. Координати фокуса цієї параболи рівні (0, k / 4).

Парабола, що служить графіком квадратного тричлена, зазвичай задається рівнянням y = Ax ^ 2 + Bx + C, де A, B, і C - константи. Вісь такий параболи паралельна осі ордінат.Проізводная квадратичної функції, заданої тричленів Ax ^ 2 + Bx + C, дорівнює 2Ax + B. Вона звертається в нуль при x = -B / 2A. Таким чином, координати вершини параболи рівні (-B / 2A, - B ^ 2 / (4A) + C).

Така парабола повністю еквівалентна параболі, заданої рівнянням y = Ax ^ 2, зрушеною шляхом паралельного перенесення на -B / 2A по осі абсцис і на -B ^ 2 / (4A) + C по осі ординат. Це легко перевірити заміною координат. Отже, якщо вершина параболи, заданої квадратичною функцією, знаходиться в точці (x, y), то фокус цієї параболи знаходиться в точці (x, y + 1 / (4A).

Підставляючи в цю формулу обчислені на попередньому кроці значення координат вершини параболи і спрощуючи вирази, ви остаточно отримаєте: x = - B / 2A,
y = - (B ^ 2 - 1) / 4A + C.