ЯК обчислити кут між векторами :: Наука

Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці і лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з'являється в результаті цього твору.

Інструкція

Кут між векторами у векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (cм. Малюнок до кроку).

При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.

При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).

Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).

Цей вираз справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).

Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).

Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок проводите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це доданок відповідає за аплікат, тобто третього компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється таким чином (див. Малюнок 6 до кроку).