ЯК знайти синус кута між векторами

Вектор в багатовимірному евклідовому просторі задається координатами своєї початкової точки і точки, що визначає його величину і напрям. Різниця між напрямками двох таких векторів визначається величиною кута. Часто в різного роду завданнях з області фізики і математики пропонується знайти не сам цей кут, а величину похідною від нього тригонометричної функції - синуса.

Інструкція

Використовуйте для визначення синуса кута між двома векторами відомі формули скалярного множення векторів. Таких формул існує, як мінімум, дві. В одній з них в якості змінної задіяний косинус потрібного кута, дізнавшись який ви зможете обчислити і синус.

Складіть рівність і виокремити з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів одно їх довжинах, перемноження один на одного і на косинус кута, а за іншою - сумі творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кута повинен бути рівний відношенню суми добутків координат до твору довжин векторів.

Запишіть отримане рівність. Для цього треба позначити координати обох векторів. Припустимо, вони дані в тривимірній декартовій системі і їх початкові точки перенесені на початок координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X?, Y?, Z?), Друга - (X?, Y?, Z?), А кут позначте буквою?. Тоді довжини кожного з векторів можна вирахувати, наприклад, по теоремі Піфагора для трикутників, утворених їх проекціями на кожну з координатних осей: v (X ?? + Y ?? + Z ??) і v (X ?? + Y ?? + Z ??). Підставте ці вирази в сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте таку рівність: cos (?) = (X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?) / (V (X ?? + Y ?? + Z ??) * v (X ?? + Y ?? + Z ??)).

Використовуйте той факт, що сума зведених в квадрат значень синуса і косинуса від кута однієї величини завжди дає одиницю. Значить, звівши отримане на попередньому кроці вираз для косинуса в квадрат і віднявши від одиниці, а потім знайди квадратний корінь, ви вирішите задачу. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin (?) = V (1-cos (?)?) = V (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?) / (V (X ?? + Y ?? + Z ??) * v (X ?? + Y ?? + Z ??))?) = v (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)? / ((X ?? + Y ?? + Z ??) * (X ?? + Y ?? + Z ??))).