ЯК знайти логарифм :: Математика

Логарифмом числа x по підставі a називається таке число y, що a ^ y = x. Оскільки логарифми полегшують дуже багато практичні обчислення, важливо вміти ними користуватися.

Інструкція

Логарифм числа x по підставі a будемо позначати loga (x). Наприклад, log2 (8) - логарифм числа 8 по підставі 2. Він дорівнює 3, тому що 2 ^ 3 = 8.

Логарифм визначений тільки для позитивних чисел. Негативні числа і нуль не мають логарифмів незалежно від підстави. При цьому сам логарифм може бути будь-яким числом.

Підставою логарифма може служити будь-яке позитивне число, крім одиниці. Однак на практиці найчастіше використовуються два підстави. Логарифми по підставі 10 називаються десятковими і позначаються lg (x). Десяткові логарифми найчастіше зустрічаються в практичних обчисленнях.

Друге популярне підставу для логарифмів - ірраціональне трансцендентне число e = 2,71828 ... Логарифм по підставі e називається натуральним і позначається ln (x). Функції e ^ x і ln (x) володіють особливими властивостями, важливими для диференціального й інтегрального числення, тому натуральні логарифми частіше використовуються в математичному аналізі.

Логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел по тій же підставі: loga (x * y) = loga (x) + loga (y). Наприклад, log2 (256) = log2 (32) + log2 (8) = 8.Логаріфм приватного двох чисел дорівнює різниці їх логарифмів: loga (x / y) = loga (x) - loga (y).

Щоб знайти логарифм числа, зведеного в ступінь, потрібно логарифм самого числа помножити на показник ступеня: loga (x ^ n) = n * loga (x). При цьому показник ступеня може бути будь-яким числом - позитивним, негативним, нулем, цілим або дробним.Поскольку x ^ 0 = 1 для будь-якого x, то loga (1) = 0 для будь-якого a.

Логарифм замінює множення складанням, зведення в ступінь множенням, а витяг кореня поділом. Тому за відсутності обчислювальної техніки логарифмічні таблиці помітно спрощують расчети.Чтоби знайти логарифм числа, що не входить в таблицю, його потрібно представити у вигляді добутку двох або більше чисел, логарифми яких є в таблиці, і знайти остаточний результат, склавши ці логарифми.

Досить простий спосіб обчислити натуральний логарифм - скористатися розкладанням цієї функції в статечної ряд: ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n) .Цей ряд дає значення ln (1 + x) для -1 < x ?1. Иными словами, так можно вычислить натуральные логарифмы чисел от 0 (но не включая 0) до 2. Натуральные логарифмы чисел за пределами этого ряда можно найти путем суммирования найденных, пользуясь тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. В частности ln(2x) = ln(x) + ln (2).

Для практичних обчислень іноді буває зручно перейти від натуральних логарифмів до десятковим. Будь перехід від однієї підстави логарифмів до іншого відбувається за формулою: logb (x) = loga (x) / loga (b) .Таким чином, log10 (x) = ln (x) / ln (10).