ЯК розрахувати гіпотенузу :: як порахувати теорему Піфагора

Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута. Вона є найбільшою стороною прямокутного трикутника. Розрахувати її можна по теоремі Піфагора або за допомогою формул тригонометричних функцій.

Інструкція

Катетами називають боку прямокутного трикутника, прилеглі до прямого кута. На малюнку катети позначені як AB і BC. Нехай задані довжини обох катетів. Позначимо їх як | AB | і | BC |. Для того, щоб знайти довжину гіпотенузи | AC |, скористаємося теоремою Піфагора. Згідно даної теоремі сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто в позначеннях нашого малюнка | AB | ^ 2 + | BC | ^ 2 = | AC | ^ 2. З формули отримуємо, що довжина гіпотенузи AC знаходиться як | AC | = v (| AB | ^ 2 + | BC | ^ 2).

Розглянемо приклад. Нехай задані довжини катетів | AB | = 13, | BC | = 21. По теоремі Піфагора отримуємо, що | AC | ^ 2 = 13 ^ 2 + 21 ^ 2 = 169 + 441 = 610. Для того, щоб отримати довжину гіпотенузи, необхідно витягти квадратний корінь з суми квадратів катетів, тобто з числа 610: | AC | = v610. Скориставшись таблицею квадратів цілих чисел, з'ясовуємо, що число 610 не є повним квадратом якого-небудь цілого числа. Для того, щоб отримати остаточне значення довжини гіпотенузи, спробуємо винести повний квадрат з під знака кореня. Для цього розкладемо число 610 на множники. 610 = 2 * 5 * 61. По таблиці простих чисел дивимося, що 61 - число просте. Тому подальше приведення числа v610 неможливо. Отримуємо остаточну відповідь | AC | = v610.
Якби квадрат гіпотенузи дорівнював, приміром, 675, тоді v675 = v (3 * 25 * 9) = 5 * 3 * v3 = 15 * v3. У випадку, якщо подібне приведення можливо, виконуйте зворотний перевірку - зведіть результат в квадрат і порівняйте з вихідним значенням.

Нехай нам відомий один з катетів і прилегла до нього кут. Для визначеності хай це будуть катет | AB | і кут?. Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної функції косинус - косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Тобто в наших позначеннях cos? = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos?.
Якщо ж нам відомі катет | BC | і кут?, То скористаємося формулою для обчислення синуса кута - синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin? = | BC | / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи знаходиться як | AC | = | BC | / cos?.

Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут? = 60 °. Отримуємо | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Розглянемо, як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. Для цього нам необхідно порахувати довжину другого катета | BC |. Скориставшись формулою для тангенса кута tg? = | BC | / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg? = 15 * tg 60 ° = 15 * v3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15 ^ 2 + (15 * v3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Перевірка виконана.