ЯК складати логарифми

Логарифмом числа b по підставі a називають таку ступінь x, що при зведенні числа a до степеня x виходить число b: log a (b) = x - a ^ x = b. Властивості, притаманні логарифмам чисел, дозволяють зводити додавання логарифмів до множення чисел.

Вам знадобиться

Вам знадобляться знання властивостей логарифмів.

Інструкція

Нехай є сума двох логарифмів: логарифм числа b по підставі a - loga (b), і логарифм числа d по підставі числа c - logc (d). Ця сума записується як loga (b) + logc (d).
Вам можуть допомогти наступні варіанти вирішення даного завдання. По-перше, подивіться, чи не є випадок тривіальним, коли збігаються і підстави логарифмів (a = c), і числа під знаком логарифмів (b = d). У цьому випадку складайте логарифми як звичайні числа або невідомі. Наприклад, x + 5 * x = 6 * x. Так само і для логарифмів: 2 * log 2 (8) + 3 * log 2 (8) = 5 * log 2 (8).

Далі, перевірте, чи не вийде елементарно обчислити логарифм. Наприклад, як у наступному прикладі: log 2 (8) + log 5 (25). Тут перший логарифм обчислюється як log 2 (8) = log 2 (2 ^ 3). Тобто в який ступінь треба звести число 2, щоб отримати число 8 = 2 ^ 3. Відповідь очевидна: 3. Аналогічно і з наступним логарифмом: log 5 (25) = log 5 (5 ^ 2) = 2. Таким чином, ви отримаєте суму двох натуральних чисел: log 2 (8) + log 5 (25) = 3 + 2 = 5.

Якщо підстави логарифмів рівні, то набуває чинності властивість логарифмів, відоме як «логарифм твори». Згідно цій властивості сума логарифмів з підставами одно логарифму твору: loga (b) + loga (c) = loga (bc). Наприклад, нехай дана сума log 4 (3) + log 4 (5) = log 4 (3 * 5) = log 4 (15).

Якщо підстави логарифмів суми задовольняють наступним висловом a = c ^ n, то можна скористатися властивістю логарифма зі статечним підставою: log a ^ k (b) = 1 / k * log a (b). Для суми log a (b) + log c (d) = log з ^ n (b) + log c (d) = 1 / n * log c (b) + log c (d). Таким чином логарифми приводяться до загального основи. Тепер необхідно позбутися множника 1 / n перед першим логарифмом.
Для цього скористайтеся властивістю логарифма ступеня: log a (b ^ p) = p * log a (b). Для даного прикладу виходить, що 1 / n * log c (b) = log c (b ^ (1 / n)). Далі виробляється множення по властивості логарифма твору. 1 / n * log c (b) + log c (d) = log c (b ^ (1 / n)) + log c (d) = log c (b ^ (1 / n) * d).

Скористайтеся наступним прикладом для наочності. log 4 (64) + log 2 (8) = log 2 ^ (1/2) (64) + log 2 (8) = 1/2 log 2 (64) + log 2 (8) = log 2 (64 ^ (1/2)) + log 2 (8) = log 2 (64 ^ (1/2) * 8) = log 2 (64) = 6.
Так як даний приклад легко обчислюється, перевірте отриманий результат: log 4 (64) + log 2 (8) = 3 + 3 = 6.