Згідно з визначенням, геометрична прогресія - це послідовність нерівних нулю чисел, кожне наступне з яких одно попередньому, помноженому на деяке постійне число (знаменник прогресії). При цьому в геометричній прогресії не повинно бути жодного нуля, інакше вся послідовність «обнуляться», що суперечить визначенню. Щоб знайти знаменник достатньо знати значення двох її сусідніх членів. Однак, не завжди умови задачі бувають настільки простими.
Вам знадобиться
- калькулятор
Інструкція
Розділіть будь-який член прогресії на попередній. Якщо значення попереднього члена прогресії невідомо чи не визначено (наприклад, для першого члена прогресії), то розділіть на будь-який член послідовності значення подальшого члена прогресії.
Так як жоден член геометричної прогресії не дорівнює нулю, то при виконанні цієї операції не повинно виникнути проблем.
Так як жоден член геометричної прогресії не дорівнює нулю, то при виконанні цієї операції не повинно виникнути проблем.
Приклад.
Нехай є послідовність чисел:
10, 30, 90, 270 ...
Потрібно знайти знаменник геометричній прогресії.
Рішення:
1 варіант. Візьмемо довільний член прогресії (наприклад, 90) і розділимо його на попередній (30): 90/30 = 3.
2 варіант. Візьмемо будь-який член геометричної прогресії (наприклад, 10) і розділимо на нього подальший (30): 30/10 = 3.
Відповідь: знаменник геометричній прогресії 10, 30, 90, 270 ... дорівнює 3.
Нехай є послідовність чисел:
10, 30, 90, 270 ...
Потрібно знайти знаменник геометричній прогресії.
Рішення:
1 варіант. Візьмемо довільний член прогресії (наприклад, 90) і розділимо його на попередній (30): 90/30 = 3.
2 варіант. Візьмемо будь-який член геометричної прогресії (наприклад, 10) і розділимо на нього подальший (30): 30/10 = 3.
Відповідь: знаменник геометричній прогресії 10, 30, 90, 270 ... дорівнює 3.
Якщо значення членів геометричної прогресії задано не явно, а у формі співвідношень, то складіть і вирішите систему рівнянь.
Приклад.
Сума першого і четвертого члена геометричної прогресії дорівнює 400 (b1 + b4 = 400), а сума другого і п'ятого члена дорівнює 100 (b2 + b5 = 100).
Потрібно знайти знаменник прогресії.
Рішення:
Запишіть умову задачі у вигляді системи рівнянь:
b1 + b4 = 400
b2 + b5 = 100
З визначення геометричній прогресії випливає, що:
b2 = b1 * q
b4 = b1 * q ^ 3
b5 = b1 * q ^ 4, де q - загальноприйняте позначення знаменника геометричній прогресії.
Підставивши в систему рівнянь значення членів прогресії, отримаєте:
b1 + b1 * q ^ 3 = 400
b1 * q + b1 * q ^ 4 = 100
Після розкладання на множники виходить:
b1 * (1 + q ^ 3) = 400
b1 * q (1 + q ^ 3) = 100
Тепер розділіть відповідні частини другого рівняння на перше:
[B1 * q (1 + q ^ 3)] / [b1 * (1 + q ^ 3)] = 100/400, звідки: q = 1/4.
Приклад.
Сума першого і четвертого члена геометричної прогресії дорівнює 400 (b1 + b4 = 400), а сума другого і п'ятого члена дорівнює 100 (b2 + b5 = 100).
Потрібно знайти знаменник прогресії.
Рішення:
Запишіть умову задачі у вигляді системи рівнянь:
b1 + b4 = 400
b2 + b5 = 100
З визначення геометричній прогресії випливає, що:
b2 = b1 * q
b4 = b1 * q ^ 3
b5 = b1 * q ^ 4, де q - загальноприйняте позначення знаменника геометричній прогресії.
Підставивши в систему рівнянь значення членів прогресії, отримаєте:
b1 + b1 * q ^ 3 = 400
b1 * q + b1 * q ^ 4 = 100
Після розкладання на множники виходить:
b1 * (1 + q ^ 3) = 400
b1 * q (1 + q ^ 3) = 100
Тепер розділіть відповідні частини другого рівняння на перше:
[B1 * q (1 + q ^ 3)] / [b1 * (1 + q ^ 3)] = 100/400, звідки: q = 1/4.
Якщо відома сума кількох членів геометричній прогресії або сума всіх членів спадної геометричної прогресії, то для знаходження знаменника прогресії скористайтеся відповідними формулами:
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q), де Sn - сума n перших членів геометричної прогресії і
S = b1 / (1-q), де S - сума нескінченно спадної геометричної прогресії (сума всіх членів прогресії зі знаменником меншим одиниці).
Приклад.
Перший член спадної геометричної прогресії дорівнює одиниці, а сума всіх її членів дорівнює двом.
Потрібно визначити знаменник цієї прогресії.
Рішення:
Підставте дані з завдання в формулу. Вийде:
2 = 1 / (1-q), звідки - q = 1/2.
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q), де Sn - сума n перших членів геометричної прогресії і
S = b1 / (1-q), де S - сума нескінченно спадної геометричної прогресії (сума всіх членів прогресії зі знаменником меншим одиниці).
Приклад.
Перший член спадної геометричної прогресії дорівнює одиниці, а сума всіх її членів дорівнює двом.
Потрібно визначити знаменник цієї прогресії.
Рішення:
Підставте дані з завдання в формулу. Вийде:
2 = 1 / (1-q), звідки - q = 1/2.
Як встановити "операційну" XP
Як перестати худнути
Як розблокувати радіотелефон
Як створювати образ за допомогою Alcohol
Як передати дані по локальній мережі
Як вивести кліщів у кішки
Як виростити жито
Як стимулювати ріст волосся на голові
Як зробити свічку з мила