Відповідно до понять геометрії, якщо в двох відрізках міститься якась кількість однакових значень, то вони сумірні. Наприклад, різні сторони прямокутника сумірні. Але ось сторона квадрата і його діагональ не є порівнянними. Вони не мають загальної міри, в якій їх можна було б висловити. Ірраціональні числа ставляться до неявно вираженим. Вони несумірні з раціональними числамі.К раціональним ставляться цілі, дробові, а також кінцеві і періодичні десяткові числа. Вони є сумірними одиниці. Нескінченні десяткові неперіодичні дроби називають ірраціональними, з одиницею вони несумірні. Але може бути вказаний спосіб отримання такого числа, тоді воно вважається заданим точно. За допомогою такого способу можна знайти будь-яку кількість знаків після коми у ірраціонального числа, це називається обчислити число з певною точністю, яка якраз і задається кількістю необхідних до обчислення знаков.Свойства ірраціональних чисел в чому схожі з властивостями раціональних. Наприклад, порівнюються вони однаково, над ними можливо проводити ті ж самі арифметичні дії, вони можуть бути позитивними або негативними. Множення ірраціонального числа на нуль, точно так само як і раціонального, дає ноль.Еслі операція проводиться над двома числами, одне з яких раціональне, а інше ірраціональне, то прийнято по можливості не використовувати наближене значення, а брати точним чином задане число (наприклад, у вигляді недесяткових дробу) Вважається, що першим концепцію ірраціональних чисел відкрив Гіппас Метапонтський, що жив приблизно в VI в. до н.е. Він був послідовником піфагорейської школи. Своє відкриття Гіппас скоїв під час морського походу, перебуваючи на кораблі. Згідно з легендою, коли він розповів іншим піфагорійцям про ірраціональні числах, надавши доказ їх існування, ті вислухали його і визнали його викладки правильними. Тим не менш, відкриття Гіппаса настільки шокувало їх, що він був викинутий за борт за те, що створив щось, що спростовує центральну пифагорейскую доктрину про те, що все у всесвіті може бути зведене до цілих числам і їхнім стосункам.