ЯК знайти катет прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза :: як знайти гіпотінузу якщо відомо два катета

Трикутник - це частина площини, обмежена трьома відрізками прямих, званих сторонами трикутника, що мають попарно за одним загальним кінця, званих вершинами трикутника. Якщо один з кутів трикутника прямий (дорівнює 90 °), то трикутник називається прямокутним.

Інструкція

Сторони прямокутного трикутника, прилеглі до прямого кута (AB і BC), називаються катетами. Сторона, що лежить навпроти прямого кута, називається гіпотенузою (AC).

Нехай нам відома гіпотенуза AC прямокутного трикутника ABC: | AC | = c. Позначимо кут з вершиною в точці A як L ?, кут з вершиною в точці B як L ?. Нам необхідно знайти довжини | AB | і | BC | катетів.

Нехай відомий один з катетів прямокутного трикутника. Припустимо | BC | = b. Тоді ми можемо скористатися теоремою Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. З даного рівняння знаходимо невідомий катет | AB | = a = v (c ^ 2 - b ^ 2).

Нехай відомий один з кутів прямокутного трикутника, припустимо L ?. Тоді катети AB і BC прямокутного трикутника ABC можна знайти, використовуючи тригонометричні функції. Так отримуємо: синус L? дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи sin? = B / c, косинус L? дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи cos? = A / c. Звідси знаходимо необхідні довжини сторін: | AB | = a = с * cos?, | BC | = b = c * sin?.

Нехай відомо співвідношення катетів k = a / b. Також вирішуємо завдання з використанням тригонометричних функцій. Ставлення a / b є ні що інше, як котангенс L ?: відношення прилеглого катета до протилежного ctg? = A / b. У цьому випадку з даного рівності висловлюємо a = b * ctg?. І підставляємо в теорему Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2:

b ^ 2 * ctg ^ 2? + B ^ 2 = c ^ 2. Виносимо b ^ 2 за дужки, отримуємо b ^ 2 * (ctg ^ 2? + 1) = c ^ 2. І звідси легко отримуємо довжину катета b = c / v (ctg ^ 2? + 1) = c / v (k ^ 2 + 1), де k - задане співвідношення катетів.

За аналогією, якщо відомо співвідношення катетів b / a, вирішуємо завдання із застосуванням тригонометричної функції тангенс tg? = B / a. Підставляємо значення b = a * tg? в теорему Піфагора a ^ 2 * tg ^ 2? + A ^ 2 = c ^ 2. Звідси a = c / v (tg ^ 2? + 1) = c / v (k ^ 2 + 1), де k - задане співвідношення катетів.

Розглянемо окремі випадки.

L? = 30 °. Тоді | AB | = a = c * cos? = C * v3 / 2- | BC | = b = c * sin? = C / 2.

L? = 45 °. Тоді | AB | = | BC | = a = b = c * v2 / 2.